السمفونية الخفيّة في المعادلة التفاضلية 

المعادلة التفاضلية أو Differential equation أو Équation différentielle، وبكل بساطة، هي عبارة على مسألة حسابية توضحلنا كيفاش حاجة ما قاعدة تتغير بمرور الوقت أو المكان، الأداة الرياضية هذي تساعدنا باش نوصفوا ونفهموا حاجات كيف الحركة أو النمو أو درجة الحرارة متع شيء ما، ووقت نحلوها، نجموا نعرفو الوضع الفعلي متاعهم، كيف الموقع أو درجة الحرارة في وقت محدد، وهذا بناء على مدى سرعة التغير متاعها. المعادلات التفاضلية عندها تاريخ كبير برشة حقيقة يرجع للقرن 17، وتطويرها مرتبط بالكامل باختراع حساب التفاضل والتكامل أو Calcul infinitésimal.

الفضل الكامل هنا يرجع للزوز عباقرة إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس الي طوروها، والي حطّت الأساس للمعادلات التفاضلية الي نعرفوها اليوم، نيوتن مثلا استعملها باش يوصف الحركة متاع الكواكب ويحل المشاكل في الفيزياء، ومن ناحية أخرى، غوتفريد لايبنتس ركّز أكثر على المسألة من جانبها الرياضي، ثم وقت انتشرت الأدوات الرياضية هذي في كل أوروبا، علماء رياضيات أخرين كيف الأخوين برنولي وليونارد أويلر طوروا المجال هذا بشكل كبير برشة، وين طبقوا المعادلات التفاضلية على برشة مسائل ومشاكل مختلفة في الفيزياء والهندسة.

في القرنين 18 و19 المعادلات هذي قعدت تتطور شوية شوية، مع مساهمات كبيرة برشة من عند برشة علماء رياضيات بارزين كيف بيير لابلاس، وجوزيف فورييه، وأوغوستين كوشي، الثلاثة هذم وسعوا النظرية ولقاو تطبيقات جديدة في مجالات أخرى كيف نقل الحرارة، وانتشار الموجات، والتحليل المركّب الخ الخ، ثم بحلول أواخر القرن 19، المعادلات هذي ولّات حجر الأساس في الفيزياء الرياضية، ولعبت دور حاسم في الخدمة التاريخية متاع العالم الفذّ جيمس ماكسويل، الي استعملها باش يصيغ المعادلات الشهيرة متاعو الي توصف الكهرومغناطيسية (عملنا عليها مقال كبير قبل)، معادلات ماكسويل هذي، الي توصف كيفاش المجالات الكهربائية والمغناطيسية تتفاعل وتنتشر، هي في الأصل قائمة على المعادلات التفاضلية، والي عملت ممبعد معاه هو ثورة في فهمنا للضوء والكهرباء والمغناطيسية، والي تلقاهم أكيد جدا في كل ركن من العالم هذا حاليا.

المعادلات هذي رياضيا الآن، مع تركيز بسيط فقط، تخيل مثلا أنو عندك رقم قاعد يتغير بمرور الوقت، المعادلة التفاضلية هذي تفسرلك وتوصفلك المدى متاع السرعة الي قاعد الرقم هذا يتغير بها في أي لحظة ما، المعادلة هذي عادة ما تتكتب بالشكل هذا، dy/dx = f(x, y)، وهنا فك عليك من الأرقام هذيكا المعقدة والغريبة وهاو شرح افضل لها، تخيل مثلا، أنك قدام حوض متاع استحمام (بانو)، نقولو أنت قاعد تعبي فيه البانو هذا بالماء بمعددل 2 لتر في الدقيقة (الحنفية تمشي بالشوية مثلا)، ونحبو نعرفو المقدار متاع الماء الموجود في الحوض هذكا في أي وقت نحبو عليه، هنا، وعبر الأداة هذي، نجمو نكتبوها كمعادلة رياضية تفاضلية على شكل: dV/dt = 2، وين V هو الحجم متاع الماء وt هو الوقت يعني dV التغير الي يصير في الحجم متاع الماء وdt هو التغير الي يصير في الوقت، وهنا، نعرفو أنو المعدل متاع التغير متاع حجم الماء (dV/dt) ديما يكون 2 لتر في الدقيقة، وباش تتحل المشكلة هذي، نوليو ندمجوا الزوز جوانب: V = 2t + C، وين C هي الكمية الأولية متاع الماء في البانو، يعني، كان نحن بدينا بالبانو فارغ من الماء يعني C = 0، هكا الحل يكون V = 2t. وهذا يعني أنو بعد 5 دقائق، باش يكون فما 10 لتر من الماء في الحوض، الخ، مثال آخر نجمو نحطوه هنا في النمو السكاني، يعني إذا كان عدد السكان ينمو بنسبة 3٪؜ كل عام، فنجموا نكتبو هذا على شاكلة dP/dt = 0.03P، وين P هو العدد متاع السكان، وهذا أكثر تعقيد شوية طبعا لأنو معدل التغير يعتمد على العدد متاع السكان الحالي، ولكنو يوضح كيفاش يمكن للمعادلات التفاضلية أنها تشكل نموذج للظواهر في العالم الحقيقي، هذي الشكل العام متاعها يعني، وفما نوع اخر فيها أكثر تعقيد ببرشة.

كخلاصة يا أعزاء، المعادلات التفاضلية منتشرة في حياتنا اليومية وفي فهمنا العلمي بشكل لا يصدق، هي ديما تخدم في الخفاء، بشكل غير مرئي، تصمملنا نماذج دقيقة جدا لمعدلات انتشار الأمراض مثلا، تتنبألنا  بالأنماط متاع الطقس، بل هي الي تقود في الإدارة متاع المخاطر المالية في الشركات وغيرها، التقنيات الي نعيشو بها وعبرها تعتمد عليها، بداية من نظام تحديد المواقع العالمي GPS وحتى السماعات الي تسمع بها الأغاني والي فيها ميزة الغاء الضجيج الخارجي باش تعطيك تجربة ممتازة، في الفيزياء الأساسية، المعادلات هذي حاسمة ومحورية، خاصة في المعادلات متاع ماكسويل الي ذكرناها والي توصف الظواهر الكهرومغناطيسية، وهكا فهمنا أنو الضوء عبارة على موجة كهرومغناطيسية وطورنا تقنيات كبيرة كيف الراديو والاتصالات اللاسلكية وغيرها، حتى في الفيزياء الحديثة، المعادلات هذي حياتية، وين تساعدنا باش نفهموا ميكانيكا الكم والنسبية العامة، المعادلات التفاضلية توفر في النهاية الأدوات اللازمة باش نوصفوا الظواهر المعقدة ونتنبأو بها، وتربط الرياضيات المجردة بكل انسيابية بالفهم متاعنا للعالم المادي، من الجسيمات دون الذرية إلى الكون المتوسع، تخيل الشيء هذا الكل، حبو يلغيوه يوما ما من المنهج، لا تعليق طبعا.

ياسين خضراوي

كاتب، مدقق، مترجم وكاتب مقالات علمية ومحرر في كافة مشاريع ويكيميديا، ومؤسس منظمة الباحثون التونسيون